Estabilidad Absoluta

Una de las especificaciones más importantes en un sistema de control es la estabilidad de éste. Se dice que un sistema es estable, si en condiciones iniciales nulas, ante una entrada acotada, la respuesta también está acotada.

Hay dos tipos de estabilidad, la absoluta y la relativa. La primera hace mención a si el sistema es estable o no, mientras la estabilidad relativa cuantifica el nivel de estabilidad del sistema. En esta lección se va a tratar de determinar la estabilidad absoluta de sistemas LTI de tipo SISO. 

Un primer método para conocer la estabilidad absoluta del sistema es calcular las raíces del polinomio característico y observar que todas están en semiplano negativo. Las regiones de estabilidad e inestabilidad se muestran en la figura.

Criterio de Routh-Hurwitz

Este criterio es un método algebraico que determina si las raíces de un polinomio de coeficientes constantes están en el semiplano izquierdo del dominio en s, sin necesidad de calcular las raíces.

Como se ha comentado, la estabilidad de un sistema LTI-SISO depende de sus polos de la cadena cerrada. Las condiciones de Cardano-Vietta dice que para que un polinomio tenga sus raíces con parte real negativa, es necesario pero no suficiente que todos los coeficientes tengan el mismo signo y que ninguno sea nulo. 

Para dar condición de suficiencia se requiere el criterio de Routh-Hurwitz basados en los determinantes de este último. Con el objeto de simplificar el cálculo de los determinantes de Hurwitz, Routh propuso una tabulación tal que si los elementos de la primera columna no cambia de signo, las raíces están en el semiplano negativo. 

Sea D(s) el polinomio característico del sistema: 

El primer paso para constituir la tabla consiste en ordenar los coeficientes en las dos primeras filas, alternando su posición entre la primera y segunda fila en orden decreciente del exponente:

La  tabla  estará  constituida  por n+1  filas,  siendo  n  el  grado  del  polinomio característico. Los coeficientes a partir de la tercera fila, se formarán con los dados en las dos anteriores: 

La expresión general de los coeficientes, xij, de cualquier fila i, a partir de la tercera, se constituirá por la fila i-1  e  i-2: 

Una vez calculada la tabla de Routh, si no hay cambio de signo en la primera columna de ésta no habrá raíces en el semiplano positivo. Tantos cambios en el signo de los coeficientes de la primera columna indican tantas raíces en el dominio complejo positivo.