Lugar Geométrico de las Raíces.

Introducción.

La ubicación de los polos en sistemas lineales contiene la información relevante de éste. En efecto, a partir de ésta se puede concluir de su estabilidad y características dinámicas y estáticas. En este capítulo se revisa el concepto de Lugar Geométrico de las Raíces como el gráfico de la ubicación de los polos de un sistema lineal. En particular, se revisan técnicas para bosquejar esta ubicación a partir de la F. de T. en L.D. como función de un parámetro del sistema. Normalmente, este parámetro corresponde a la ganancia del controlador.

RESUMEN DE LAS REGLAS GENERALES PARA CONSTRUIR

LOS LUGARES GEOMÉTRICOS DE LAS

RAÍCES

Para un sistema complejo en lazo abierto con muchos polos y ceros, puede parecer com-plicado construir una gráfica del lugar geométrico de las raíces, aunque en realidad no es difícil si se aplican las reglas para construir dicho lugar geométrico. Ubicando los puntos y las asíntotas específicos y calculando los ángulos de salida de los polos complejos y los ángulos de llegada a los ceros complejos, podemos construir la forma general de los lugares geométricos de las raíces sin dificultad.

Reglas generales para construir los lugares geométricos de las raíces. Ahora resumiremos las reglas y el procedimiento general para construir los lugares geométricos de las raíces del sistema de la figura

Primero, obtenga la ecuación característica 1 + G(s)H(s) = 0

A continuación, vuelva a ordenar esta ecuación para que el parámetro de interés aparezca como el factor multiplicativo, en la forma

En estos análisis, suponemos que el parámetro de interés es la ganancia K, en donde K > 0.

(Si K < 0, lo cual corresponde al caso de realimentación positiva, debe modificarse la condición de angulo). Sin embargo, observe que el método todavía es aplicable a sistemas con parámetros de interés diferentes a la ganancia.

1. Ubique los polos y ceros de G(s)H(s) en el plano s. Las ramificaciones del lugar geométrico

de las raíces empiezan en los polos en lazo abierto y terminan en los ceros (ceros finitos o ceros

en infmito). A partir de la forma factorizada de la función de transferencia en lazo abierto, ubique

los polos y los ceros en lazo abierto en el plano s. [Observe que los ceros en lazo abierto son los de G(s)H(s), en tanto que los ceros en lazo cerrado son los de G(s) y los polos de H(s)].

2. Determine los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real. Los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real se determinan mediante los polos y los ceros en lazo abierto que se encuentran sobre él. Los polos y los ceros complejos conjugados de la función de transferencia en lazo abierto no afectan la ubicación de los lugares geométricos de las raíces sobre el eje real, porque la contribución del ángulo de un par de polos o ceros complejos conjugados es 360” sobre el eje real. Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos sobre el eje real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geométrico de las raíces El lugar geométrico de las raíces y su forma complementaria alternan segmentos a lo largo del eje real.

3. Determine las asíntotas de los lugares geométricos de las raíces. Si el punto de prueba s se ubica lejos del origen, se considera que no cambia el ángulo de cada cantidad compleja.

Entonces, un cero en lazo abierto y un polo en lazo abierto cancelan los efectos del otro. Por tanto, los lugares geométricos de las raíces para valores de muy grandes deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos (pendientes) se obtengan mediante

Aquí,k = 0 corresponde a las asíntotas con el ángulo más pequeño con respecto al eje real.

Aunque k supone una cantidad infinita de valores, conforme aumenta, el ángulo se repite a sí mismo y la cantidad de asíntotas distintas es n-m.

Todas las asíntotas intersecan el eje real en un punto que se obtiene del modo siguiente: si se expanden el numerador y el denominador de la función de transferencia en lazo abierto, el resultado es

Si un punto de prueba se localiza muy lejos del origen, entonces, dividiendo el denominador entre el numerador, podemos escribir G(s)H(s) como

Dado que la ecuación característica es G(s)H(s) = - 1 puede escribirse como

4. Encuentre los puntos de desprendimiento y de ingreso. Debido a la simetría conju-gada de los lugares geométricos de las raíces, los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados.

Si un lugar geométrico de las raíces se ubica entre dos polos en lazo abierto adyacentes sobre el eje real, existe al menos un punto de desprendimiento entre dichos dos polos.

Asimismo, si el lugar geométrico de las raíces está entre dos ceros adyacentes (un cero puede ubicarse en -∞) sobre el eje real, siempre existe al menos un punto de ingreso en-tre los dos ceros. Si el lugar geométrico de las raíces se ubica entre un polo en lazo abierto y un cero (finito o no finito) sobre el eje real, pueden no existir puntos de desprendimiento o de ingreso, o bien pueden existir ambos. Suponga que la ecuación característica se obtiene mediante

B(s) + KA(s) = 0

Los puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso corresponden a las raíces múltiples de la ecuación característica. Por tanto, los puntos de desprendimiento y de ingreso se de-terminan a partir de las raíces de

en donde la prima indica una diferenciación con respecto a s. Es importante señalar que los puntos de desprendimiento y los puntos de ingreso deben ser las raíces de la ecuación anterior aunque no todas las raíces de la ecuación son puntos de desprendimiento o de ingreso real. Si una raiz real de la ecuación se encuentra en la parte del eje real del lugar geométrico de las raíces, es un punto de desprendimiento o de ingreso real. Si una raíz real de la ecuación no está en la parte del eje real del lugar geométrico, esta raiz no corresponde a u punto de desprendimiento ni a un punto de ingreso.

Si dos raíces s = s₁ y s = -s₁ de la ecuación son un par complejo conjugado, y si no es seguro que están en los lugares geométricos de las raíces, es necesario verificar el valor de K correspondiente. Si el valor de K que corresponde a la raíz s = s₁ de dK/ds = 0 es positivo, el punto s = s₁ es un punto de des-prendimiento o de ingreso real. (Dado que se supone que K es no negativo, si es negativo el valor obtenido de K, el punto s = s₁ no es de desprendimiento ni de ingreso.)

5. Determine el ángulo de salida (ángulo de llegada) de un lugar geométrico de las raíces a partir de un polo complejo (un cero complejo). Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces cercanas a los polos y ceros complejos. Si se selecciona un punto de prueba y se mueve en la cercanía precisa del polo complejo (o del cero complejo), se considera que no cambia la suma de las contribuciones angulares de todos los otros polos y ceros. Por tanto, el ángulo de llegada (o ángulo de salida) del lugar geométrico de las raíces de un polo complejo (o de un cero complejo), se encuentra restando a 180⁰ la suma de to-dos los ángulos de vectores, desde todos los otros polos y ceros hasta el polo complejo (o cero complejo) en cuestión, incluyendo los signos apropiados.

Ángulo de salida desde un polo complejo = 180”

- (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde otros polos).

+ (suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo en cuestión desde los ceros).

Ángulo de llegada a un cero complejo = 180”

- (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde otro cero).

+ (suma de los ángulos de vectores hacia el cero complejo en cuestión desde los polos).

6. Encuentre los puntos en los que los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. Los puntos en donde los lugares geométricos de las raíces intersecan el eje jω se encuentran con facilidad por medio de: (a) el criterio de estabilidad de Routh, o (b) suponiendo que s = jo en la ecuación característica, igualando con cero la parte real y la parte imaginaria y despejando y K. En este caso, los valores encontrados de ω representan las frecuencias en las cuales los lugares geométricos de las raíces cruzan el eje imaginario. El valor de K que corresponde a cada frecuencia de cruce produce la ganancia en el punto de cruce.

7. Tomando una serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen del plano s, trace los lugares geométricos. Determine los lugares geométricos de las raíces en la vecindad amplia del eje ω y el origen. La parte más importante de los lugares geométricos de las raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas, sino en la parte de la vecindad amplia del eje jo y el origen. La forma de los lugares geométricos de las raíces en esta región impor-tante del plano debe obtenerse con suficiente precisión.

8. Determine los polos en lazo cerrado. Un punto específico de cada ramificación del lugar geométrico de las raíces será un polo en lazo cerrado si el valor de K en dicho punto satisface la condición de magnitud. Por otra parte, la condición de magnitud nos permite determinar el valor de la ganancia en K en cualquier ubicación de las raíces específica sobre el lugar geométrico. (Si es necesario, se establece una graduación de los lugares geométricos en términos de K.Los lugares geométricos de las raíces son continuos con K.)

El valor de Kque corresponde a cualquier punto s sobre el lugar geométrico de las raíces se obtiene a partir de la condición de magnitud, o bien

Este valor puede calcularse en forma gráfica o analítica. Si en este problema se da la ganancia K de la función de transferencia en lazo abierto, entonces, aplicando la condición de magnitud encontramos las ubicaciones correctas de los polos en lazo cerrado para un K determinado de cada ramificación de los lugares geométricos de las raíces, mediante un enfoque de prueba y error o mediante MATLAB.

Comentarios acerca de las gráficas del lugar geométrico de las raíces. Se ob-serva que la ecuación característica del sistema cuya función de transferencia en lazo abierto es

es una ecuación algebraica en de n-ésimo grado. Si el orden del numerador de G(s)H(s) es menor que el del denominador, en dos o más (lo que significa que hay dos o más ceros en infinito), el coeficiente a1 es la suma negativa de las raíces de la ecuación y es independiente de K. En este caso, si alguna de las raíces se mueve en el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda, con-forme K aumenta, las otras raíces deben moverse hacia la derecha conforme aumenta K. Esta información es útil para encontrar la forma general de los lugares geométricos de las raíces.

También se observa que un cambio ligero en el patrón de los polos y ceros provoca cam-bios significativos en las gráficas del lugar geométrico de las raíces. La figura representa el hecho de que un cambio ligero en la ubicación de un cero o polo hará muy diferente la gráfica del lugar geométrico de las raíces.

Cancelación de los polos G(s) con los ceros de H(s). Es importante señalar que si el denominador de G(s) y el numerador de H(s) contienen factores comunes, los polos y ceros en lazo abierto correspondientes se cancelarán unos a otros, lo cual reducirá el grado de la ecuación característica en uno o más. Por ejemplo, considere el sistema de la figura (Este sistema tiene una realimentación de velocidad.) Si se modifica el diagrama de bloques de la figura para obtener el de la figura se aprecia con claridad que G(s) y H(s) tiene un factor común s + 1. La función de transferencia en lazo cerrado C(s)/R(s) es

La ecuación característica es

Sin embargo, debido a la cancelación de los términos + 1) que aparecen en G(s) y H(s), tenemos que

La ecuación característica reducida es

La gráfica del lugar geométrico de las raíces de G(s)H(s) no muestra todas las raíces de la ecuación característica; sólo las raíces de la ecuación reducida.

Para obtener el conjunto completo de polos en lazo cerrado, debemos agregar el polo cancelado de G(s)H(s) para los polos en lazo cerrado obtenidos en la gráfica del lugar geométrico de las raíces de G(s)H(s). No debe olvidarse que el polo cancelado de G(s)H(s) es un polo en lazo cerrado del sistema, como se observa en la figura.